Ученые обнаружили применимость теории струн к комплексным числам
Инвариантность обратного преобразования Меллина L-функций геометрических объектов соответствует положениям теории суперструн, выяснили японские ученые. Статья об их исследовании опубликована 2 марта на интернет-портале Phys.org.
Исследователи показали, что модулярные формы, связанные с эллиптическими кривыми, описываются в терминах теории суперструн. Доцент Тайзан Ватари (Taizan Watari) и приглашенный сотрудник Сатоши Кондо (Satoshi Kondo) из института физики и математики Кавли (Kavli IPMU) исследовали инвариантность функции, содержащей информацию о том, как быстро растет число точек в геометрическом объекте по мере расширения понятия чисел, при преобразованиях определенного типа. В теории струн одним из основных положений является инвариантность относительно операций. Исследователи показали, что обратное преобразование Меллина L-функций геометрических объектов выражается в терминах вышеуказаного класса объектов, что соответствует положениям теории суперструн применительно к геометрическим объектам. Из этого следует, что функция, описывающая расширение понятия числа (обратное преобразование Меллина), должна быть инвариантом при определенных операциях, имеющих модулярные формы, что находится в соответствии с теорией струн.
Ученые отмечают, что полученный результат применим только для такого класса объектов, как эллиптические кривые, построенные методом комплексного умножения. Вопрос о том, можно ли применить положения теории струн к функциям, описывающим более общий класс геометрических объектов, остается открытым.
Исследование связано с расширением понятия «число». Изначально числа включали в себя только целые и рациональные, затем это понятие было расширено до действительных и комплексных чисел (полученных как корни уравнений с рациональными коэффициентами). Числа можно выразить геометрически, с помощью уравнений и соответствующих им кривых. Набор точек в геометрическом объекте при этом будет «числами». По мере расширения понятия чисел будут усложняться геометрические объекты, при этом увеличение точек в геометрических объектах будет соответствовать расширению понятия «число». Информация о скорости роста числа точек в геометрическом объекте «упакована» в функцию, называемую «обратное преобразование Меллина L-функций». Эта функция, другими словами, является функцией, которая содержит информацию о том, как быстро в геометрическом объекте растет число точек при расширении понятия числа. Ожидается, что эта функция будет неизменной при определенных операциях, то есть будет модулярной формой. Это предположение известно как гипотеза Лэнглэндса.
Напомним, в 2018 году канадец Роберт Ленглендс получил Абелевскую премию (аналог Нобелевской премии по математике) за создание программы соответствий между различными математическими теориями. Считается, что эта программа (не путать с компьютерной программой) может стать инструментом, позволяющим переводить утверждения одной области математики в другую область математики. Более того, эта идея соответствия применима и в физике — возможно, она позволит объединить теории сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий в физике в единое целое.
Теория струн относится к области квантовой механики и теории относительности. Предполагается, что элементарные частицы аналогичны квантовым струнам, совершающим колебания различной частоты. Теория струн работает при количестве измерений пространства-времени большем 10. Теория суперструн является суперсимметричным обобщением теории струн.
